ipsace i tiskace

Misha mě trochu inspiroval svou úvahou o horisontu a duze. A když k tomu připočítám zážitek z letadla, musím téma trochu rozvést.

Už strašně dlouho jsem neletěl velkým proudovým letadlem. Náš Airbus 321 letěl ve výšce jedenácti kilometrů, větší Boeing 747 a později Boeing 777 letěly přes oceán dokonce ve výšce skoro 12km. Rekordně nízká teplota byla nad Labradorem (- 61°C).

Jelikož jsem vždy seděl u okénka mimo křídlo (boarding pass přes internet je úžasný vynález), kochal jsem se nádherným pohledem dolů a též vodorovně. A tak jsem se zamyslel – jak daleko vlastně ten obzor je?. Ono se to vůbec nedá okem odhadnout, navíc vzduch je v poctatě neprůhledná hmota, takže skutečný horisont tvořený zemí či oceánem vlastně vidět není nikdy.

Ale přesto. Napadlo mě, že by to mohlo jít nějak spočítat. A po přistání jsem se do toho dal, nakonec to bylo jednodušší, než se mi zpočátku zdálo. Kosinovou větu jsem ani používat nemusel :-) A tak mám pro vás kratochvilný úkol.

Pokuste se odhadnout či spočítat přesně, jak daleko leží obzor, pokud letíte letadlem ve výšce 11 km. Samozřejmě uvažujeme situaci, kdy je vzduch dokonale průhledný a zanedbáváme lomy a ohyby světla.

Milé uživatelky, které si netroufnete to spočítat, zkuste sem narychlo napsat svůj odhad. Že se spletete, nevadí. A ty zkušené z vás, které to umějí spočítat, nechť chvilku počkají a paxem napíšou výsledek a též postup výpočtu. Schválně, jestli někdo objeví jednodušší řešení než já :-)

Pro pořádek: Poloměr Země je 6378 km, výška letadla 11 km.

A doplňující otázka: Může být z Krkonoš vidět Alpy?

Následující vyluštění bylo zveřejněno o pár dní pozdějí

Vyluštění – poněkud překvapivé

Jsem rád, že jste nenaletěly na chyták s různými nesmyslnými goniometrickými funkcemi. Jedná se o obyčejnou Pythagorovu větu. Obzor leží na tečně zemského povrchu, zde je pravý úhel (vrchol O), další vrcholy jsou letadlo (L) a střed Země (S). Přepona je to, co je mezi letadlem a středem země. Jedna odvěsna je obzor, druhá zemský poloměr. Pak je stačí dosadit do notoricky známé Pythagorovy věty c²=a²+b²

(r+11)² = x² +r ²

Dosadíme-li za r poloměr Země 6378 km, dostaneme numerický výpočet:

x = odmocnina((6378+11)²-6378²) = 374.8 (km)

Potud to bylo triviální a úloha je vyřešena, ale...

Teď to zajímavé

Není to málo? Vždyť z výšky o dost větší než Ču-mu-lang-ma dohlédnete sotva z Aše do Ostravy. Znamená to snad, že z desetkrát nižšího Ještědu je obzor desetkrát menší (37km), že nedohlédneme ani do Prahy?

Vzpomeňte na známý rozklad polynomu z osmé třídy: (a+b)² = a² + 2ab + b²

O tomto polynomu je známé, že pokud je první číslo a mnohem větší než b (čili a » b), složka b² je zcela zanedbatelná. A my to teď dosadíme do Pythagorovy věty s tím, že místo konkrétní hodnoty 11 dosadíme proměnnou výšku v nad zemí:

    (r+v)² = x² + r²
r²+2rv+v² = x² + r²   

Člen v² z levé strany rovnice zanedbáme (při výškách do 100km se vůbec neuplatní) a z rovnice odečtením vypadne i člen r²

r² + 2rv = x² + r²   
2rv = x²   

Teď už stačí dosadit známý poloměr Země a konstantu vyjářit numericky.

x = 113 * odmocnina(v)

Tedy z výšky jednoho kilometru je obzor vzdálen 113 km, z výšky čtyřikrát větší je obzor dvojnásobný a z výšky čtvrtkilometrové dohlédneme stále ještě 57 kilometrů daleko. Závislost tedy není lineární, ale antikvadratická, což je věc, která by mě jen tak bez přemýšlení nenapadla.

A ješte odpověď na druhou otázku, zda může být z Krkonoš vidět do Alp. Je to chyták. Může! Za zcela výjimečných okolností, pomůže-li ohyb světla. Fata morgana je svinstvo :-)

A poslední věc. Nevíte, co je to za vesnici na leteckém snímku? Já to nevím, jih je směrem nahoru doprava. Je to někde u Nižboru, přistávali jsme na Ruzyni od jihozápadu.