ipsace i tiskace

Vše je způsobeno tím, že chlapců se rodí o něco více než holek. Tato do nebe volající nespravedlnost má za následek, že nás vždycky pár zbyde, když už jsou všechny spáře.. spárované. Jedinou útěchou mi může být fakt, že v příštím životě budu holčička. Jednou to vyjít musí, i když státi se holčičkou je o něco neprabděpodobnější, než státi se chlapcem. Ale já to dokážu a pak jim ukážu! :-)

Minule jsme si ukázali, že v počtu pravděpodobnosti existují roztomilé chytáky. Naučím vás teď, jak jim už nikdy nenaletět. Všechny úlohy na toto téma lze totiž řešit za pomoci několika málo zásad, vlastně jsou jen tři.

Základní a nejdůležitější věc.

Je to tak jednoduché, že se skoro stydím to sem napsat, ale když vidím, jak málo lidí to chápe...

Pravděpodobnost nějakého stavu spočítame jako podíl příznivých variant ku všem možným variantám

1. Jaká je pravděpodobnost, že při jednom hodu kostkou padne šestka?
   Všech možných variant je 6 [1-6], příznivá je 1 [6], pravděpodobnost je tedy 1/6.
2. Jaká je pravděpodobnost, že dvěma hody kostkou padnou dvě šestky?
   Všech možných variant je 36 [1-6] krát [1-6], příznivá je 1 [6,6], pravděpodobnost je tedy 1/36.

Touto metodou se vždy dostanete ke správnému výsledku. Můžeme ovšem narazit na problém, že vyčíslit horní či dolní stranu zlomku je značně obtížné. Proto existují následující dva triky.

Násobení pravděpodobností

Pokud chceme určit prabděpodobnost, že nastanou současně dva jevy (jev A and jev B), pak výslednou pravděpodobnost získáme jako součin prabděpodobnosti každého jevu zvlášť. Nutnou podmínkou je, že oba jevy musí být nezávislé.

Například druhý hod kostkou je zcela nezávislý na hodu prvním. Můžeme tedy dva hody kostkou spočítat jednodušeji. Pravděpodobnost šestky je 1/6, druhé šestky je též 1/6, výsledně tedy 1/36. Výsledek stejný, postup o něco jednodušší.

V daném případě k velkému zjednodušení nedošlo, u složitějších úloh však může být rozdíl markantní, viz předchozí spot o jistotě.

Sčítání pravděpodobnosti

Zapamatujte si navždy. Pravděpodobnost různých jevů nelze nikdy sčítat! Řekněte si tu větu znovu nahlas. Nerespektování této zásady vede k absurdním závěrům

Co ovšem sčítat lze, je pravděpodobnost více příznivých variant téže události. Vše snadno pochopíte na příkladě:

1. Jaká je pravděpodobnost, že při jednom hodu kostkou padne šestka nebo jednička?
   Pravděpodobnost šestky je 1/6, jedničky je též 1/6, výsledek je 2/6, tedy 1/3.
2. Jaká je pravděpodobnost, že při prvním hodu kostkou padne šestka nebo při druhém hodu jednička?
   Protože se jedná o dvě různé události, sčítat nelze, naopak lze uplatnit níže vysvětlený trik.

Druhý trik zni: Součet pravděpodobností všech variant jedné události je roven jedné. Z čehož vyplývá, že pravděpodobnost jedné varianty se rovná pravděpodobnosti zbytku variant odečtených od jedničky.

S uvedeným poznatkem můžeme snadno vyřešit druhou úlohu s šestkou a jedničkou. Pravděpodobnost, že padne šestka je rovna pravděpodobnosti, že padne něco jiného odečtené od jedné, čili 1-5/6. U druhého hodu je tomu stejně, jen se nejedná o šestku, ale jedničku. Prabděpodobnost, že nepadne jednička, je 5/6. A teď klíčový okamžik úvahy. Musíme intuitivně použít Booleovu algebru, konkrétně de Morganův zákon, který říká, že součet výroků se rovná negaci součinu negací. Původní podmínka: "Padne v prvním hodu šestka nebo (OR) ve druhém hodu jednička" převedeme na "padne cokoliv jiného než šestka a současne (AND) padne cokoliv jiného než jednička" a tento výsledek odečteme od jedné. A jelikož se jedná o AND, čili logický součin, můžeme obě prabděpodobnosti násobit. Výsledek odečteme od 1 a máme splněn úkol.

1 – (5/6 * 5/6) = 0.3055

Nikoliv tedy 1/3, k čemuž bychom nesprávně došli sečtením obou pravděpodobností.

Cvičení – konečně jste se dočkaly, milé uživatelky!

Pokud výše uvedené tři zásady budete dodržovat, už nikdy vás Pixy ani David na ničem nenachytají. A teď jeden zábavný úkol k procvičení

Budeme zkoumat všechny rodiny, které mají 4 děti. Pro jednoduchost budeme brát pravděpodobnost narození chlapce i děvčete konstantní jako 0.5. V takových rodinách mohou být:

1. Všechny děti stejného pohlaví
2. Jedno dítě s jiným pohlavím než tři zbývající děti.
3. Dvě děti jednoho pohlaví, dvě děti opačného pohlaví.

Která možnost je nejprabděpodobnější?