ipsace i tiskace

Moc krásně podané.

Protože ze zadání vyplývá, že zemské jádro je v tuhém stavu, předpokládám, že pro daný příklad ustala rotace Země. Nemusíme se tudíž zabývat jakýmikoliv silami působícími na těleso v neinerciální soustavě a omezíme se na jediné potenciálové pole - a to gravitaci matičky Země.

Ze zadání také vyplývá, že Země neztratila atmosféru, protože existuje parašutista. Tudíž zde existuje odpor vzduchu - tření.

Tím se nám úloha redukuje na jednoduchý systém tlumeného kyvadla, z něhož vyplývá, že Jacek skočí, ale druhého povrchu nedoletí, nýbrž se začne vracet zpět, ale opět "níže" než prve, až se nakonec ještě několika výkyvy ustálí v poloze středu.ˇ

Čili prohlašuji, že milion euro za to nestojí.

Souhlas se squire, i když v tomhle případě záleží na tom, jak hladké stěny ta díra má. Pokud ne úplně, tak se Jacek asi docela podře - rychlost otáčení země na povrchu je něco kolem 300 m/s směrem na východ, ale klesá úměrně tomu, jak se Jacek přibližuje středu. Jackova dopředná rychlost ovšem neklesá - tedy začne klesat v okamžiku nárazu do stěny... Čili bych řekl, že to za to nestojí :o)

Aneb cesta do středu Země, krásné :))) A pohádku o Schroedingerově kočce znáš? ;)

může mi nějaká uživatelka vysvětlit, esli v tom komíně bude průvan, nebo nebude? tj. když na jedné straně Zeměboule bude svítit žbluňce a bude ohřívat vzduch a na druhé straně bude noc, tak bude z nory tahnout nebo nebude? A co na to teorie relaťiviťi?

Jdeme na to :-)
Skokan skoci a jeho rychlost zacne (zpocatku linearne) narustat, az se ustali na cca 55m/s (tj. cca 190km/h).

****
Vite, co se stalo? Ten koment zacal bejt delsi nez cely clanek! A stale jsem nevycerpal vsechny fyzikalni dusledky padu, takze za par minut to prdnu nahoru do clanku. Wait please. :-)

Asi by bylo potreba upresnit, kde se tunýlek nachází a jestli děrovaná zeměboule rotuje. Má Jacek něco kovového na sobě? Jak na něj působí magnetismus? Zpomalí se Jacek, když se ve středu Země zpomalí čas nebo naopak zrychlí? Doletí na druhý konec než zestárne a umře?Tolik otázek, asi radši půjdu spát a počkám si na Jacka u druhého konce díry! Nebo spíš na jeho ostatky?
A zajímavá otázka, co se stane s mořem, které na jedné straně do díry nateče a na druhé straně ..., co?

mate to tam :-)
[3] Nitrillo, ja chci o kocce!!!!!

:-))) netrpělivě čekám na rozluštění, ale ten Update mi nefunguje.

Corti, ty mi takhle pomahas propagovat Firefox? IE6 je asi jediny prohlizec, ktery to jeste neumi, mozna i sedmicka uz tyhle zaklady vzlada. Stahni a neinstaluj nebo prejdi k jinemu poci, to vylusteni je dost drasticka podivana a stoji za to :-)

Stejně zajímavej problém je spekulovat, co by se stalo se zeměkoulí při tak extrémně hloubkovém vrtání. Napíchnout se do magmatické vrstvy asi nebude taková sranda, jako když naftaři narazí na ložisko ropy... :-p

;-) no snažím se, kouknu se holt doma.

kujů... siale stejnak myslim, že logika, exaktní věda a "smysl" jsou v tomto případě v opozici. Příště bychom si mohli zasoutěžit kde se protnou dvě rovnoběžky a jak to na takovém místě vypadá. ;)

Jé tunel! Tuto úlohu jsem kdysi dostal u zkoušky z mechaniky:-) Znělo to asi tak nějak: "Představte si, že padáte tunelem...- popište svoje pocity"

Je fakt, že bez odčerpání vzduchu z tunelu to nepůjde. Coriolis by šel obejít vhodně zvolenými souřadnicemi tunelu nebo patřičným zakřivením. Taky je hezké si uvědomit, jakou maximální rychlost by Jacek v ideálním tunelu nabyl.

[13], [0] To je nějaká do komentářů vkládaná reklama? Ten poslední odstavec jsem nepsal. *konec*

[14] Jiste, komentarovka je drsna. ;-) Predpokladam, ze sis ji uz vypl :-)

[13] Ten Coriolis prakticky nejde obejit, aniz bys resignoval na dobyti stredu zeme. V urcite vzdalenosti octredu je totiz obezna rychlost Zeme rovna unikove rychlosti vzhledem ke gravitaci. A pokud bys moment hybnosti nejak nepredal Zemi (bez vzduchu to nejde), je stred nedosazitelny.

[15] Eh, napsal jsem obezna rychlost, ale mel jsem na mysli povrchovou rotacni rychlost.

Asi nejsem jako jediný zmatený, jak se jim vlastně povedlo v tak nelidských podmínkách tu dirku vyvrtat...
Corolise bych asi mohl obejít vrtaním od polu k polu nebo ne?

[17] Vietmanci zvladnou vyvrtat cokoliv.
A poly nevyhovujou zadani proto, ze nad tim severnim je ocean a zelezo ve slane vode rezavi :-)

[18] Tak tu vodu ocajem, ne? :)

[15]Aha, póly nevyhovují:-)

A co kdybychom kopali na rovníku tunel ve tvaru sinusoidy? Ovšem za cenu toho, že by Jacek nevyskočil z tunelu přesně naproti- konce by nebyly na protilehlých polednících. Takový tunel ala jing-jang.

[19] Nejde. Vietmanci vykoupili vsechny hadice! :-)
[20] Prectav si, ze Jacexe stane castici, hmotnym bodem, na ktery nepusobi zadna fyzikalni interakce, krome gravitace. Takove staticke neutrino s hmotnosti dospeleho cloveka :-)
Potom je cela Zeme jednim vzduchaprostym tunelem. Jacek zacne sestupovat po elipticke draze dolu, ale stredu nikdy nedosahne.
Je to hodne podobne jako v kosmickem prostoru. Dve telesa se vlivem vlastni gravitace nikdy nesrazi.

[21]Máš recht. Bude se pohybovat po elipse. Ale nikoliv proto, že se dvě tělesa vlivem gravitace "nikdy" nesrazí- to by platilo vně Země, kde na ni díky tomu, že je kulatá a Gaussově větě můžeme nahlížet jako na bodový zdroj a řešit klasickou Keplerovu úlohu. Uvnitř má ten potenciál charakter prostorového izotropního oscilátoru- ovšem není těžké se přesvědčit, že odpovídající dráha bude taky elipsa.

Fajn, střed volným pádem tedy NE.

[17] Mas recht, cekal sem tam led a zapomnel na globalni oteplovani od toho vrtáku!

[22] Nicmene nakreslit trajektorii v soustave zemske by udelalo krasnou ruzici :-)

[23] Je hezke, ze se nikdo nepozastavil nad samozrejmym predpokladem, ze v dobe, az vychladne zemske jadro, budou obyvat vesmir pouze Vietmanci a jeden Polak ;-)

[24]Růžici? To asi ne. Není těžké ukázat, že se v případě elastického potenciálu zachovává tzv. Runge-Lenzův vektor- který souvisí s tím, že příslušné trajektorie jsou stabilní a ve tvaru uzavřené křivky (elipsy). Je zajímavé, že pouze dva druhy potenciálu toto splňují- právě ten elastický U(r)~r^2 a gravitační U(r)~-1/r. Žádné jiné centrální síly tuto vlastnost nemají.

Tudíž růžice se konat nebude, tedy pokud stále platí ideální podmínky nastolené v [21]. Stáčení trajektorie- růžice- nastane v přítomnosti nějakého poruchového potenciálu- třeba jiné planety. Růžice by se objevila i v případě kdybychom v úvahu brali teorii relativity. Hezká růžice se objevuje taky při počítačových simulacích orbit na pomalých počítačích. Ovšem tam to s fyzikou nemá mnoho společného, neb jde jen o stále se zvětšující "zaokrouhlovací" chybu při výpočtu.

I přes snahu pánů Rungeho a Lenze tedy bude tedy dost růží pro všechny uživatelky:-)

[25] Tomu sice nerozumim, ale nejsou ty trajektorie stabilni vzhledem k inercialni šoustavě?
Ja jsem predpokladal diru v tomto pripade pro zjednoduseni na rovniku a skladani s rotaci Zeme.

Prectavuju si to tak, ze zacne padat svisle (vzhladem k Zemi) a paxe stoci ve smeru rotace, pricemz "predbehne" to misto na povrchu a dotkne se povrchu Zeme nekde odhadem o 90 stupnu vychodneji.

Pokud to nebude na rovniku, musi ta krivka byt uplne silena :-)

BTW jak moc je presny je model gravitacniho potencialu uvnitr koule -1/r ?
Nehomogenity zanedbavam, presto mam pocit, ze to bude slozitejsi zavislost. Jsi si tim jistej?

Teď tomu zas nerozumím já:-)

Pod pojmem "v soustave zemske" jsem si představil počátek ve středu Země. Vzhledem k jiným soustavám to můžou být samozřejmě nejrůznější křivky- ovšem taky uzavřené.
Já jsem tou růžicí myslel stáčení orbity- jako třeba u Merkuru. Viz třeba tady (obrázek nahoře):

www.schulphysik.de/ physik/perihel/Perihel.htm

Asi jsme se jenom nepochopili:-)

Tím, že jsou stabilní jsem myslel toto: K libovolnému centrálnímu symetrickému potenciálu existují možné kruhové trajektorie- stačí vhodně zvolit počáteční úhlovou složku rychlosti. Avšak při nepatrném radiálním impulsu dodaném obíhajícímu tělesu by se trajektorie stala neuzavřenou křivkou, případně by těleso spadlo na centrum. Naproti tomu v centrálním gravitačním potenciálu může mít obíhající těleso i radiální složku rychlosti aniž by se zřítilo do centra (stačí mít nenulový moment hybnosti), nebo nějak vypadlo z eliptické trajektorie (změní se jen excentricita)- v tomto smyslu elastický a centrální gravitační potenciál tvoří stabilní trajektorie ve tvaru uzavřené křivky.

Co se týče gravitačního potenciálu uvnitř koule, tak U(r)~-1/r tam neplatí- ten platí vně. Snadno se odvodí, že uvnitř koule bude elastický potenciál U(r)~r^2 - jak jsem psal v [22]. Je to dáno tím, že uvnitř gravitující koule na Jacka nepůsobí hmota kulové slupky "nad ním". Což je zajímavý fakt plynoucí z Gaussova zákona. Takže kdyby Země byla dutá, uvnitř by pak na Jacka nepůsobila žádná síla. Platilo by to i v případě nehomogenit tvaru kulových slupek- což v prvním připblížení Země je (kůra, plášť, jádro). Takže si myslím, že ten elastický potenciál je docela dobrá aproximace reality.

Protože se jedná o elastický potenciál, můžou si uživatelky situaci představit jako kuličku na pružině, která je připevněna na vrchol nějakého stožáru(střed Země). Pružinu s kuličkou patřičně nátáhneme (tomu v našem případě odpovídá "výška" Jacka nad středem Země) a ještě ji při uvolnění postrčíme trochu do strany (úhlová rychlost). Míček bude opisovat elipsu! Uvnitř Země tomu nebude jinak. Taky je hezky vidět, že stožár by kulička trefila jenom kdybychom jí nepopostrčili do strany (kdyby se Země netočila).

Ve skutečnosti by náš potenciál nebyl přesně U(r)~r^2 ale třeba něco jako U(r)~r^2.001 - tady už by obecně stabilní trajektorie ve tvaru uzavřené křivky neexistovala a došlo by ke stáčení orbity jako na obrázku, nebo k pádu na centrum. Což nás opět přivádí k dosažitelnosti středu! Zapomenout bychom asi neměli ani na gravitaci Slunce a Měsíce- takže by to do jisté míry záviselo i na vzájemné poloze Země-Slunce-Měsíc, tudíž dosažení středu (pokud by bylo možné) by bylo závislé i na čase. Uff... Tento tunel bych teda nepřál kopat ani těm Vietnamcům:-)

Jako vždy, čím víc nad tím člověk přemýšlí, tím je to složitější:-) Snad sem nic nezvoral.

[27].1 myslel jsem neinercialni zemskou soustavu, ne staceni perigea.

..2 Aha, to je zajimave a nevedel jsem to.
..3 J jsem si to bez pocitani prectavoval tak, ze gravitace slupek NAD Jackem se nevyrusi do nuly, ponevazd slupky na "protejsi" strane jsou dal nez slupky na "nasi" strane, tudiz jejich pusobeni bude slabsi, takze zavislost nebude linearni a kmity nemohou byt harmonicke.
Cili vlastne uvnitr dute koule bude gravitace pusobit smerem K POVRCHU koule vsude, krome stredu. Ale tento integral je nad me sily.
..5 Nezapomen, ze zakon zachovani momentu hybnosti je naprosty fundament, plati i v kvantove fyzice, takze dosazeni stredu neni mozne bez predani momentu hybnosti Zemi, mesici nebo slunci, nebo extremniho roztoceni Jacka :-)

[28]
(5)...Jde o to, že soustava Jacek-Země není izolovaná. Korektní by bylo říct, že se zachovává celkový moment soustavy Země-Měsíc-Slunce-Jacek. Moment hybnosti si všichni zúčastnění předávají gravitací (vzájemně se urychlují, protahují si svoje elipsy...).

(3)...No, ono to asi není moc intuitivní. Ale možná by pomohlo říct, že sice slupky na "protější" straně jsou dál než ty na "naší" straně ale zase jich působí větší objem směrem k "nim". To, že se tyto účinky přesně vyruší je dáno právě povahou gravitačních sil U(r)~-1/r tj. F(r)~1/r^2. Viděl jsem i geomterické zdůvodnění ale na můj vkus obsahovalo příliš mnoho trojúhelníků. Matematicky řečeno to plyne z Greenovy věty resp. z jejího speciálního případu Gaussova zákona. Analogie s elektrostatikou (Faradayova klec) není náhodná, protože potenciál má až na konstantu stejný tvar.
Nevím jestli to, že se účinky slupek uvnitř vyruší platí i pro nějaké jiné mocniny r ale z toho jak se počítá ten integrál bych řekl, že ne. U(r)~-1/r je tedy vyjímečný mezi ostatními, je jakoby víc "symetrický" než jiné. Pro ty ostatní platí to cos psal, že se nevyrusi do nuly a kmity nebudou harmonické. Prostě máme štěstí, že Země je koule a gravitace působí tak jak působí:-)

(5) Samozrejme :-)

(3) Jo, zni to rozumne. Ale s analogii s Faradayovou kleci bych byl opatrny. Prece jen jde o uplne jiny mechanismus pusobeni... no vzdyt vis.. :-)

Ja jsem si totiz myslel totez o obycejne kruhove civce a magnetickem poli uvnitr, ze by melo byt v poctate homogenni. Ale nahodou jsem to zmeril a v tesne blizkosti dratu se B meritelne zvysovala. Civka byla vzduchova, zadne feromagnetikum v dohledu. :-)

(3).. Naopak, v rámci naší diskuze je to ekvivalentní mechanismus. Coulombický potenciál je taky U(r)~1/r. Liší se jen konstantou úměrnosti, roli hmotností tu hrají náboje. Tou Faradayovou klecí jsem myslel to, že uvnitř homogenně nabité kulové slupky bude intenzita el. pole nulová - stejně jako u té gravitace. Nevím co přesně se označuje za Faradayovu klec, ale rozhodně to bude využívat stejný princip. Tolik k té analogii.

se lisi predevsim v tom, ze elektricky potencial ve statickem poli je na jejim povrchu vzdy shodny, a to i v pritomnosti sebesilnejsiho vnejsiho elektrostatickeho pole. To v pripade gravitacniho "krytu" neplati, bohuzel :-)

No jasně. jako každá analogie je i tato vadná. Myslel jsem to jen v tom smyslu, že "venku-ANO, uvnitř- NE". Ale je fakt, že ta analogie je nadbytečná- a tímto se jí tedy zříkám:-)

Polák to určitě nezvládne. Před dvaceti lety by to dokázal sovětský člověk, dnes už pouze občan USA (pozor na Číňany).